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Hands on Mathematics for CS - Exercises

3. Session: 3. November 2005

Topic: Polya's Framework

Presentations:

Exercises:

In den vergangenen Sessions habt Ihr gelernt, wie man eine übungsaufgabe zerlegen und für ein computer-basiertes Lernsystem autorieren kann. In dieser Session wollen wir uns einer algemeinen Problemlösetechnik nach dem Mathematiker George Polya widmen. Polya arbeitete an der Charakterisierung allgemeiner Methoden zur Lösung von Problemen und deren Anwendung im bereich des Lernens und Lehrens. Sein in 4 Phasen eingeteiltes Framework findeIhr in Lernen nach Polya. Eine detailierte Beschreibung findet Ihr im Buch How to solve it. Die Seiten 1-33 sind ausreichend, um die Idee zu verstehen. In meiner Einführungsveranstaltung habe ich Euch zum Schluß ein Beispiel gegeben. Einige weitere Beispiele findet Ihr im Internet, wenn Ihr nach Polya googelt.

  • Wählt zwei Beweise und wandelt sie in Polya-Beweise um. Geht das gesamte Polya Framework durch und gebt an, wo es sinnvoll ergänzt werden könnte. Überlegt gleichzeitig, wie man dies Polya-basierten Beweise als Übungsaufgabe in ActiveMath einbauen kann (Struktur, Feedback, ...). Eine Aufgabe gebt Ihr als Präsentation ab, die andere darf in Papierform abgegeben werden. (*)


  • Wähle zwei der folgenden Aufgaben (eine für Präsentation und eine auf Papier) und löse sie gemäß Polya Stil inklusive Skizze und überlege, wie man die Aufgabe in ActiveMath (Struktur) einbauen kann. (**)

    • "Ich habe für die Eier, die ich beim Bauern gekauft habe, 12 Cents bezahlt", erklärt der Koch, "aber ich habe ihn überredet, mir 2 Eier extra dazu zu geben, weil die Eier dieses Mal sehr klein waren. Dadurch kosteten alle zusammen 1 Cent pro Dutzend (12 Stück) weniger. Wie viele Eier hat der Koch insgesamt gekauft?

    • An der Abendkasse eines Theaters befindet sich eine Warteschlange von 2n, n∈N+, Personen, von denen jede genau ein Ticket erwerben möchte. Von den Wartenden besitzt die eine Hälfte nur je einen 5 Euro Schein und die andere nur je einen 10 Euro Schein. Tickets kosten 5 Euro, und der Kartenverkäufer hat kein Wechselgeld. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß niemand auf sein Wechselgeld warten muß? Welche der folgenden Antworten ist richtig?

      1. 1/7
      2. 1/2
      3. 1/3
      4. 1/n
      5. n/(n+1)
      6. 1/(n+1)
      7. (n-1)/(n2 + n)
      8. (n-1)/(n+1)
      9. (n2 -1)/(n3 +1)
      10. (n-2)/(n+1)

    • Laser spielen eine wichtige Rolle beim Schneiden und Bohren von Metallen, bei der Oberflächenbehandlung und in der Telekommunikation.Ein Würfel der Kantenlänge 5cm soll mit Hilfe eines gebündelten Laserstrahls in mehrere kleine Würfel von ganzzahliger Kantenlänge (in cm) geschnitten werden. Was ist die kleinste Anzahl an Würfeln, die man so herstellen kann? Welche der folgenden Antworten ist richtig?

      1. 27
      2. 36
      3. 48
      4. 50
      5. 62
      6. 64
      7. 100
      8. 125

    • Drei Personen möchten von einem Ort A zu einem Ort B gelangen. Sie haben ein Fahrrad zur Verfügung, das zeitgleich nur von einer Person gefahren werden kann, und sie können zu Fuß gehen. Natürlich kann auch eine Person ein Stück Fahrrad fahren, dann zu Fuß weiter- oder zurücklaufen und das Fahrrad einer anderen Person überlassen, die es auch wieder nur ein Stück nutzt, usw.

      Die jeweiligen Geschwindigkeiten sind in untenstehender Tabelle angegeben. Die Entfernung von A zu B beträgt 20km. Welches ist die minimale Zeit, die sie brauchen, bis auch der letzte in B angekommen ist?

      Person Gehen Radfahren
      1 4 km/h 24 km/h
      2 4 km/h 24 km/h
      3 8 km/h 32 km/h
      Welche der folgenden Antworten ist richtig?

      1. 2h 55min
      2. 2h 45min
      3. 3h 20min
      4. 2h 30min
      5. 2h
      6. 3h 10min
      7. 2h 20min
      8. 4h
      9. 2h 10min
      10. 3h

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