Fernand Beaudet 2001-02-25 Half-space of a euclidean space Demi-espace d'un espace euclidien {\H}^n |Hⁿ On apelle demi-espace et l'on note $Hn$ l'ensemble des points de $Rn$ dont la dernière composante est positive: $Hn = set(x | x ∈ Rn ∧ π(n,x) > 0)$ The set of points of $Rn$ whose last component is positive is called the half-space: $Hn = set(x | x ∈ Rn ∧ π(n,x) > 0)$ Bord d'une variété \partial ∂ Application lisse C^\infinity C^&infty; n-dimensional closed ball B_n B_n On appelle bord du demi-espace et l'on note $∂(Hn)$ l'ensemble des points de $Rn$ dont la dernière composante est nulle: $∂(Hn) = set( x | x ∈ Rn ∧ π(n,x) = 0 )$ The set of points of $Rn$ whose last component is zero is called the boundary of the half space: $∂(Hn) = set( x | x ∈ Rn ∧ π(n,x) = 0 )$ Soit $named_map(h, U, Rn)$, et $U$ un ouvert de $Hn$, on dit que $h$ est de classe $C_infty$, ou lisse, si $h$ admet un prolongement de $named_map(g,V,Rn)$ à un ouvert $V$ de $Rn$, $g restr Hn = h$. Variété Soit $X$ un espace topologique. On appelle carte de $X$ || typical place where one would put an italic... meaningful ? un couple $tuple(U,φ)$ où $U ⊂ X$ est un ouvert de $X$ et $φ$ est un homéomorphisme $named_map(φ, U, U_prime)$, avec $U_prime$, un ouvert de $Hn$. On dit qu'un point $x$ appartient à une carte $tuple(U,φ)$ s'il appartient à $U$. Étant donnée deux cartes $tuple(U,φ)$ et $tuple(V,ψ)$, on appelle changement de carte la composition $named_map(φ compose linv(ψ), V_prime, U_prime) $, un homéomorphisme d'un ouvert de $Hn$ dans $Hn$. Variété Soit $tuple(M,T,A)$ un triple tel que $tuple(M,T)$ est un espace topologique est un espace topologique de Hausdorff à base dénombrable et $A$ est une famille de cartes telle que tout point de $M$ appartient à une carte. On appelle alors $tuple(M,T,A)$ une variété et on appelle la famille $A$, un atlas de la variété. Dans les notations, on utilise souvent $M$ pour indiquer, en fait, le triple. variété lisse' Soit $tuple(M,T,A)$ une variété à bord, $tuple(M,T,A)$ est dite une variété lisse ou variété différentiable ou $C_infty$ si tous les changements de cartes sont lisses. Le bord d'une variété est l'ensemble des points $x$ de $M$ pour lesquels il existe une carte $tuple(U_x,ψ_x)$ telle que $ψ_x apply x ∈ ∂(Hn)$.