<?xml version='1.0' encoding='UTF-8' standalone='no'?>
<!DOCTYPE omdoc SYSTEM "../dtd/activemath.dtd" [
]>
<omdoc id='topDiff_intro_omdoc'>
<?QMath Context:"Mathematics/Arithmetic" ?>
<?QMath Context:"Mathematics/Logic" ?>
<?QMath Context:"Mathematics/Set_theory"?>
<?QMath Context:"Mathematics/OMDoc"?>
<?QMath Context:"Mathematics/ActiveMath"?>
<?QMath Context:"Mathematics/OpenMath/set1"?>
<?QMath Symbol: apply OP_EXP "ai_elementary:map_application" ?>
<!--|| the set of n-uples of real numbers -->
<?QMath Symbol: Rn SYMBOL "topDiff_prerequisites:Rn" ?>
<!--|| Rn = { (x1, ..., xn) | xi in R } -->
<!--|| the projection (x1, ..., xn) |-> xk -->
<?QMath Symbol: π APPLICATION "topDiff_prerequisites:projection" ?>
<!--|| we should be using the |R symbol -->
<!--|| the norm function on euclidean space points -->
<?QMath Symbol: norm APPLICATION "topDiff_prerequisites:norm" ?>
<?QMath Symbol: Bn SYMBOL "topDiff_intro:ball" ?>
<!--|| this symbol would probably need a real content-dictionary but it is not -->
<!--|| really well defined -->
<!--|| also its syntax would appreciate a markup like f: A -> B -->
<!--|| it means let f be an map from A to B -->
<?QMath Symbol: named_map APPLICATION "topDiff_prerequesites:named_map" ?>
<!--|| same thing but with no name -->
<?QMath Symbol: unnamed_map APPLICATION "topDiff_prerequesites:unnamed_map" ?>
<!--|| the restriction of a map to a subset -->
<!--|| haven't found this in the openmath CDs -->
<?QMath Symbol: restr OP_PLUS "topDiff_prerequesites:restriction" ?>
<metadata>
<Title>
Introduction à la topologie différentielle
</Title>
<Contributor role='aut'>Fernand Beaudet</Contributor>
<Date>2001-02-25</Date>
</metadata>
<theory id='topDiff_intro'>
<symbol id='demi_espace'>
<commonname xml:lang="en">Half-space of a euclidean space</commonname>
<commonname xml:lang="fr">Demi-espace d'un espace euclidien</commonname>
</symbol>
<?QMath Symbol: Hn SYMBOL "topDiff_intro:demi_espace" ?>
<presentation id='demi_espace_pres' for='demi_espace'>
<use format='TeX'>{\H}^n</use>
<use format='HTML'>|H<sup>n</sup></use>
</presentation>
<definition id='def_demi_espace' for='demi_espace'>
<metadata>
<Title xml:lang="fr">Définition du demi-espace d'un espace euclidien</Title>
<Title xml:lang="en">Definition of the half-space of a euclidean space</Title>
<extradata>
<depends-on>
<ref xref="Rn"/>
</depends-on>
</extradata>
</metadata>
<CMP xml:lang="fr">
On apelle demi-espace et l'on note $Hn$ l'ensemble des points de $Rn$
dont la dernière composante est positive:
$Hn = set(x | x ∈ Rn ∧ π(n,x) > 0)$
</CMP>
<CMP xml:lang="en">
The set of points of $Rn$ whose last component is positive is called
the half-space:
$Hn = set(x | x ∈ Rn ∧ π(n,x) > 0)$
</CMP>
</definition>
<symbol id='bord'>
<commonname xml:lang="fr">Bord d'une variété</commonname>
</symbol>
<?QMath Symbol: bord APPLICATION "topDiff_intro:bord" ?>
<?QMath Symbol: ∂ APPLICATION "topDiff_intro:bord" ?>
<presentation id='bord_pres' for='bord' parent='OMA' fixity='infix'>
<use format='TeX'>\partial</use>
<use format='HTML'>∂</use>
</presentation>
<symbol id='application_lisse'>
<commonname xml:lang="fr">Application lisse</commonname>
</symbol>
<?QMath Symbol: C_infty SYMBOL "topDiff_intro:application_lisse" ?>
<presentation id='application_lisse_pres' for='application_lisse' parent='OMA' fixity='infix'>
<use format='TeX'>C^\infinity</use>
<use format='HTML'>C<sup>&infty;</sup></use>
</presentation>
<symbol id='n_ball'>
<commonname xml:lang="en">n-dimensional closed ball</commonname>
</symbol>
<?QMath Symbol: n_ball SYMBOL "topDiff_intro:n_ball" ?>
<presentation id='n_ball_pres' for='n_ball' parent='OMA' fixity='infix'>
<use format='TeX'>B_n</use>
<use format='HTML'>B<sub>n</sub></use>
</presentation>
<definition id='def_bordHn' for='bord_Hn'>
<metadata>
<Title xml:lang="fr">Définition du bord du demi-espace</Title>
<Title xml:lang="en">Definition of the boundary of the half-space</Title>
</metadata>
<!-- no QMath declaration here... it's a compound symbol. Or should I ? -->
<CMP xml:lang="fr">
On appelle bord du demi-espace et l'on note $∂(Hn)$
l'ensemble des points de $Rn$ dont la dernière composante est nulle:
$∂(Hn) = set( x | x ∈ Rn ∧ π(n,x) = 0 )$
</CMP>
<CMP xml:lang="en">
The set of points of $Rn$ whose last component is zero is called the
boundary of the half space:
$∂(Hn) = set( x | x ∈ Rn ∧ π(n,x) = 0 )$
</CMP>
</definition>
<!--|| need to define the ∂ symbol -->
<definition id='def_application_lisse_Hn' for="application_lisse">
<metadata>
<Title xml:lang="fr">application lisse du demi-espace</Title>
</metadata>
<CMP xml:lang="fr">
Soit $named_map(h, U, Rn)$, et $U$ un ouvert de $Hn$, on dit que
$h$ est de classe $C_infty$, ou lisse, si $h$ admet un prolongement de
$named_map(g,V,Rn)$ à un ouvert $V$ de $Rn$, $g restr Hn = h$.
</CMP>
</definition>
<?QMath Symbol: tuple APPLICATION "list1:list" ?>
<symbol id="carte">
<commonname xml:lang="fr">Variété</commonname>
</symbol>
<definition id='def_carte' for="carte">
<metadata>
<Title xml:lang="fr">carte</Title>
</metadata>
<CMP xml:lang="fr">
<?QMath Symbol: U_prime VARIABLE "U_prime" ?>
<?QMath Symbol: V_prime VARIABLE "V_prime" ?>
Soit $X$ un espace topologique.
On appelle carte de $X$ || typical place where one would put an italic... meaningful ?
un couple $tuple(U,φ)$ où $U ⊂ X$ est un ouvert de $X$ et $φ$ est un homéomorphisme
$named_map(φ, U, U_prime)$, avec $U_prime$, un ouvert de $Hn$.
On dit qu'un point $x$ appartient à une carte $tuple(U,φ)$ s'il appartient à $U$.
Étant donnée deux cartes $tuple(U,φ)$ et $tuple(V,ψ)$, on appelle changement de carte
la composition $named_map(φ compose linv(ψ), V_prime, U_prime) $, un homéomorphisme d'un ouvert de $Hn$ dans $Hn$.
</CMP>
</definition>
<!-- Not too sure this should be a symbol, at least, it should be
a predicate and should not be presented as such (it should not be
presented at all). -->
<symbol id='variete'>
<commonname xml:lang="fr">Variété</commonname>
</symbol>
<?QMath Symbol variete "top_diff_intro:variété" ?>
<!-- <presentation id='variete_pres' for='variete' parent='OMA' fixity='infix'>
<use format='TeX'>M</use>
<use format='HTML'>M</use>
</presentation> -->
<definition id='def_variete' for="variété">
<metadata>
<Title xml:lang="fr">Variété à bord</Title>
</metadata>
<CMP xml:lang="fr">
Soit $tuple(M,T,A)$ un triple <!--|| needs caligraphic letters -->
tel que $tuple(M,T)$ est un espace topologique est un
<textref xref="espace_top">espace topologique</textref>
<textref xref="topDiff_preReqTop/deHausdorff">de Hausdorff</textref>
à <textref xref="topDiff_preReqTop/baseDenombrable">base dénombrable</textref>
et $A$ est une famille de cartes telle que tout point de $M$ appartient à une carte.
On appelle alors $tuple(M,T,A)$ une variété et on appelle la famille $A$,
un atlas de la variété. Dans les notations, on utilise souvent $M$ pour indiquer,
en fait, le triple.
</CMP>
</definition>
<symbol id="variete_lisse">
<commonname xml:lang="fr">variété lisse'</commonname>
</symbol>
<definition id='def_variete_lisse' for="variete_lisse">
<metadata>
<Title xml:lang="fr">Variété lisse</Title>
</metadata>
<CMP xml:lang="fr">
Soit $tuple(M,T,A)$ une <textref xref="variete">variété à bord</textref>,
$tuple(M,T,A)$ est dite une variété lisse ou variété différentiable
ou $C_infty$ si tous les changements de cartes sont lisses.
</CMP>
</definition>
<definition id='def_bord_variete' for='bord'>
<metadata>
<Title xml:lang="fr">Bord d'une variété</Title>
</metadata>
<CMP xml:lang="fr">
<?QMath Symbol: U_x VARIABLE "U_x" ?>
<?QMath Symbol: ψ_x VARIABLE "ψ_x" ?>
Le bord d'une variété est l'ensemble des points $x$ de $M$
pour lesquels il existe une carte $tuple(U_x,ψ_x)$
telle que $ψ_x apply x ∈ ∂(Hn)$.
</CMP>
</definition>
</theory>
</omdoc>
